Co to znaczy rozumieć matematykę?
Podczas kilku ostatnich szkoleń, zapytaliśmy kilka pytań z zakresu matematyki:
„Minus razy minus, to …?“
Oczywiście odpowiedzieli, że „Minus razy minus to plus“. Dlaczego? Tutaj odpowiedzi były już różne:
„No, bo tak“
„Bo takie jest prawo“
„Bo tak się oblicza“
pokazywali na palcach, krzyżując dwa minusy w plus.
Zapewne poradzą sobie z pomnożeniem dwóch liczb ujemnych, ale czy to znaczy, że rozumieją, dlaczego wynik jest taki a nie inny?
A jak obliczyć pole trójkąta?
Oczywiście: 1/2 ∙ a ∙ h. Dlaczego?
Jak podzielić przez siebie dwa ułamki zwykłe?
Wystarczy pomnożyć pierwszy przez odwrotność drugiego. Dlaczego?
Na pewno poradzisz sobie zarówno z dzieleniem ułamków jak i z obliczaniem pola trójkąta czy pomnożeniem przez siebie dwóch liczb ujemnych. Czy rozumiesz, na czym to polega? Czy posługiwanie się wzorem na obliczenie pola trójkąta oznacza, że rozumiesz algorytm? Czy rozumiesz dlaczego właśnie tak pole trójkąta należy obliczyć?
„Pożyczanie“ w odejmowaniu pisemnym, dzielenie ułamków, obliczanie równania z przenoszeniem niewiadomej na drugą stronę, ze zmianą znaku na przeciwny - znamy procedurę, ale czy rozumiemy istotę tych działań?
Rozumowanie relacyjne
Jeżeli wiemy, co trzeba robić i wiemy, dlaczego tak trzeba robić, to posługujemy się rozumowaniem relacyjnym.
Rozumowanie instrumentalne
Jeżeli wiemy, jak trzeba zrobić, ale nie wiemy dlaczego tak trzeba robić, to jest to rozumowanie instrumentalne.
Dzieci obliczają:
ile to jest 26 + 29?
W jednej grupie nauczycielka zostawia im swobodę, mogą rachować tak, jak chcą.
Niektóre dzieci obliczą tak:
26 + 20 + 9 = 46 + 9 = 55.
Inne dzieci dopełnią pierwszą liczbę do 30 i doliczą resztę, czyli: 26 + 4 + 25 = 30 + 25 = 55.
Będą też takie dzieci, które do drugiej liczby dodadzą 1, żeby było 30, a potem od sumy odejmą 1, czyli: 26 + 29 = 26 + 30 - 1 = 56 - 1 = 55.
Mogą też pamiętać, ile to jest 25 + 25 i z tego skorzystać, sumując 26 i 29 (25 + 25+ 1 + 4 = 50 + 5 = 55).
Mogą sięgną po „Tabliczkę Setę“. Znajdują na niej 26 i doliczają 29, po czym odczytują wynik.
Każde dziecko oblicza sumę wybranym przez siebie sposobem.
Nauczycielka zachęca do rozmowy na temat rozwiązania. Dzieci prezentują koleżankom, kolegom, nauczycielce swoje pomysły na obliczenia. Po prezentacji można zadawać pytania. Kiedy ich pomysły będą kwestionowane, muszą odpowiedzieć, używając odpowiedniej argumentacji.
W drugiej grupie nauczycielka daje dzieciom pchełki w dwóch wielkościach - większe to dziesiątki, a mniejsze to jedności.
Krok po kroku prowadzi dzieci w obliczeniach:
Ułóżcie liczbę 26. Wyjmijcie 2 duże pchełki i 6 małych. Ułóżcie liczbę 29. Wyjmijcie 2 duże pchełki i 9 małych. Zsumujcie dwie liczby. Razem połóżcie duże pchełki i razem małe pchełki. Sprawdźcie, czy małych pchełek jest więcej niż 10. Każde 10 małych pchełek zamieńcie na 1 większą pchełkę - każde 10 jedności zamieńcie na 1 dziesiątkę. Policzcie większe pchełki - dziesiątki. Policzycie małe pchełki - jedności. Jaką liczbę otrzymaliście?
Potem w taki sposób dzieci obliczają jeszcze kilka działań.
Nauczycielka wycofuje się, dzieci same stosują poznaną metodę obliczeń.
Pomimo, że dzieci na obu zajęciach zajmują się rozwiązaniem tego samego działania, to cele tych zajęć się różne:
Na pierwszych uczą się elastycznego podejścia do problemu, wyboru najbardziej przyjaznej im strategii rachunkowej, poznają powiązania pomiędzy rożnymi pojęciami matematycznymi. Obserwują związki między dodawanymi liczbami i wybierają najlepszą ich zdaniem strategię. Nabierają biegłości matematycznej.
Na drugich zajęciach poznają algorytm dodawania - jeden ze sposobów obliczenia sumy.
Które zajęcia są lepsze dla dzieci? Zależy od tego, jaki cel stawia sobie nauczyciel/nauczycielka.
Pierwsze zajęcia na pewno rozwijają rozumowania relacyjne.
Drugie wydają się być nastawione na rozumowania instrumentalne, chociaż nie koniecznie tak musi być. Dzieci poznają strategię rachowania - dodają do repertuaru sposobów dodawania kolejny algorytm, z którego mogą korzystać. To przyczynia się do rozwijania rozumowania relacyjnego.
Wybór proponowanych działań zależy więc od tego kto, czego i po co się uczy.
Na pierwszych zajęciach ważne są pomysły każdego dziecka. Uczniowie prezentują swoje pomysły koleżankom, kolegom oraz nauczycielom. Dzięki temu dzieci
uczą się dzielenia swoimi pomysłami z innymi i słuchania pomysłów innych, rozmawiania o trudnościach, kwestionowania, przekonywania do swojego zdania, argumentowania. Są zaangażowane w rozwiązanie, myślą krytycznie i refleksyjnie.
Jeżeli sposób nauczania zastosowany na drugich zajęciach byłby powszechnie stosowany przez nauczyciela lub nauczycielkę, to dzieci mogłyby dojść do wniosku, że matematyka to zbiór reguł, zasad, których trzeba bezwarunkowo przestrzegać, żeby rozwiązać problem. Słuchają instrukcji, zgodnie z nią postępują, zapamiętują kolejne kroki algorytmu.
Można przyjąć, że na obu zajęciach nauczyciel lub nauczycielka dążą do tego, żeby dzieci zrozumiały dodawanie dwóch liczb dwucyfrowych z przekroczeniem progu dziesiątkowego. W każdym przypadku co innego znaczyć będzie sformułowanie „zrozumiały“.
Na pierwszych zajęciach odwołują się do tego, co już potrafią i stosują do rozwiązania działania. Rozumieją, że dwie liczby można połączyć na wiele różnych sposobów.
Na drugich zajęciach uczą się rozumieć jeden z algorytmów dodawania.
W każdym z tych przykładów dzieci wykorzystują inne kompetencje.
Na pierwszych zajęciach dzieci mogą różnić się wiedzą i umiejętnościami jakie posiadają, bo sposób poradzenia sobie z zadaniem wybierają same. Rozwiązanie może być więc dostępne dla większej liczby dzieci. Widzą też, jak działanie rozwiązują inni. Poznają bardziej wydajne niż ich sposoby, mogą spróbować skorzystać z nich na kolejnych zajęciach.
Na drugich wszystkie dzieci muszą posiadać pewną wiedzę, pewne umiejętności, żeby zrozumieć prezentowany im algorytm. Jeżeli jest to jedyny sposób dodawania dwóch liczb, z jakich korzystają, to nie poznają innych, które mogą być lepsze w odmiennej sytuacji.
Analiza ta pokazuje, że sposób podejścia do tego samego problemu może być różny i zależy od tego, o co jest naszym celem oraz to, kto jest odbiorcą zajęć.
Niektórzy uważają, że nieskuteczne są wszelkie instrukcje podawane przez nauczyciela uczniom i uczennicom: ignoruje wtedy pomysły dzieci, nie pozwala im uczyć się w najbardziej przyjazny dla nich sposób. Nie zawsze tak będzie. Nauczyciel może pokazywać dzieciom różne algorytmy, o ile tylko nie ignoruje potrzeby refleksji dzieci, ich krytycznego podejścia do sytuacji. Łączy to, co dziecko już wie, potrafi z nową wiedzą i umiejętnościami, rozszerzając repertuar działań dziecka.
Na koniec kilka ważnych, naszym zdaniem rad dla nauczycielek i nauczycieli którzy chcą rozwijać u dzieci rozumowania relacyjne:
Słuchaj pomysłów jakie mają dzieci na rozwiązanie problemu. Są one ważne i przyczyniają się do tego, że wspólnie uczymy się czegoś ważnego.
Rozmawiaj z dziećmi o ich pomysłach na poradzenie sobie z problemem. Ważne jest zaangażowanie wszystkich dzieci w rozwiązanie, pokazywanie, że każde z nich pracuje nad rozwiązaniem problemu. Dziecko może szybciej nauczyć się jakiegoś sposobu rozwiązania od innego dziecka niż od dorosłego. Pisała już o tym Z. Kałmykowa, która organizowała sytuacje, w których dziecko o większych możliwościach uczyło kolegę lub koleżankę o mniejszej na tę chwilę wiedzy czy umiejętnościach. Ta metoda okazała się bardzo skuteczna. (Kałmykowa Z.I. (1964) Zagadnienie rozwoju w toku nauczania i metody jego diagnozy, „Psychologia Wychowawcza“ nr 2 Kałmykowa Z.I. (1973) Problemowo – syntetyczna metodyka diagnostyki nauczalności w: Materiały do nauczania psychologii, seria 3, t.2, red. L.Wołoszynowa, PWN, Warszawa Kałmykowa Z.I (1982), K problemie diagnostiki umstwiennogo razwitija szkolnikow, „Woprosy Psichołogii“ nr 2)
Zachęcaj dzieci do podejmowania różnych sposobów rozwiązania problemu. Dzięki temu uczą się, że można na różne sposoby podejść do zadania. Uczą się szanować pomysły innych, a też je krytykować, proponować lepsze rozwiązania. To też okazja do uczenia się radzenia sobie z krytyką, obrony swojego zdania czy zmiany swojego postępowania, jeżeli jest nieskuteczne.
Traktuj błędy jako dobrą okazję do uczenia się. Uczy się tylko ten, kto błędy popełnia. Kiedy dziecko nauczy się, że popełnianie błędów nie jest niczym złym - nauka, nie tylko matematyki, będzie o wiele efektywniejsza. Ważne, żeby błędy zauważać, rozumieć i poprawiać. Jeżeli nie pozwolimy dzieciom popełniać błędów, to nie poznamy wielu ich pomysłów.
