Pusta oś liczbowa (rachunki)

Aktualizacja: 16 kwi 2019

Pusta oś liczbowa to narzędzie, które wspiera u dzieci rozwój umiejętności rachowania „w pamięci“.

Po raz pierwszy była zastosowana w szkołach holenderskich w latach 70-tych ubiegłego stulecia. Dzisiaj używana jest w szkołach w wielu krajach, na przykład w Nowej Zelandii oraz w Wielkiej Brytanii. (Gravemeijer, K. (1994). Educational development and educational research in mathematics education. „Journal for Research in Mathematics Education“, 25 (5), 443–71.)


Rachując za pomocą pustej osi liczbowej dzieci mogą stosować dowolne strategie obliczeniowe, także własne, takie których nie poznały formalnie w szkole.

Własne strategie są bardziej dla dziecka przyjazne, chociażby z tego powodu, że dziecko lepiej rozumie sens ich stosowania.


Co to jest pusta oś liczba?

Pusta oś liczbowa różni się od tradycyjnej osi liczbowej. Na tradycyjnej osi zaznaczone są liczby, zazwyczaj od 0, co 1. Pomiędzy kolejnymi liczbami jest taka sama odległość. Oprócz liczb są też znaki (pionowe kreski) oznaczające miejsca liczb oraz grot strzałki, który wskazuje kierunek wzrostu liczb. Tradycyjna oś liczbowa jest narzędziem, które może służyć do pomiaru.


Pusta oś - może być zwykłą linią

Na pustej osi liczbowej nie ma ani liczb, ani pionowych kresek, jest tylko pozioma linia i grot strzałki.


Pusta oś - może być zwykłą linią z grotem

Na takiej osi nie są istotne proporcje odległości między liczbami, dziecko nie musi się nimi przejmować.( Beishuizen, M. (2001). Different approaches to mastering mental calculation processes. In J. Anghileri (Ed.), Principles and Practices in Arithmetic Teaching (pp. 119-130). London: Open University Press.)

Nauczycielki i nauczyciele, którzy praktykują z pustymi osiami liczbowymi uważają, że niepotrzebne do obliczeń liczby tylko dzieciom przeszkadzają. Napiszemy o tym w dalszej części artykułu.

Pusta oś liczbowa jest wizualną reprezentacją wykonywanego przez dziecko działania arytmetycznego. Uczniowie i uczennice zaznaczają na osi tylko te liczby, które są im potrzebne do obliczeń. Na przykład kiedy dziecko oblicza, ile to jest 34 + 27:

  • na osi zaznacza liczbę 34


Dziecko na osi zaznacza liczbę 34

  • przeskakuje (łukiem zaznacza skok) o 20 do 54


przeskakuje (łukiem zaznacza skok) o 20 do 54

  • zaznacza na osi liczbę 54

  • od tej liczby przeskakuje o 7 (zaznacza łukiem skok) do 61 (zaznacza na osi 61).


od tej liczby przeskakuje o 7 (zaznacza łukiem skok) do 61 (zaznacza na osi 61)

Na pustej osi liczbowej dziecko zaznacza tylko potrzebne mu liczby.


Liczba skoków zmniejsza się wraz ze wzrostem zaawansowania wykorzystywanych strategii rachunkowych.

Oto trzy różne przykłady dodawania 37 + 28.


Najpierw dziecko dodało dziesiątki, następnie jedności

Najpierw dziecko dodało dziesiątki, następnie dopełniło do pełnej dziesiątki, na końcu dodało to, co zostało

Najpierw dziecko dodało dwadzieścia, następnie dopełniło do pełnej dziesiątki, na końcu dodało to, co zostało

Pusta oś liczbowa to odmienny typ narzędzia matematycznego. Od tradycyjnej osi liczbowej różni ją cel w jakim jest stosowana. Różne też umiejętności musi posiadać dziecko, żeby z tych narzędzi korzystać. Biegłość w używaniu jednego typu osi, nie ma bezpośredniego przełożenia na biegłość w korzystaniu z drugiego.

Do jakich celów używamy pustej osi liczbowej?


Pierwotnie było to narzędzie pomagające dziecku w radzeniu sobie z dodawaniem i odejmowaniem liczb dwucyfrowych. Przydatna była zwłaszcza dla dzieci, które nie radziły sobie z odejmowaniem liczb dwucyfrowych, z przekroczeniem progu dziesiątkowego, a także z pisemną formą takich obliczeń. Zdarza się, że dziecko, które ma pisemnie obliczyć, na przykład 44 - 27, odejmuje od siedmiu cztery, bo do tej pory uczone było, że od większej liczby odejmuje się liczbę mniejszą.

Kiedy dziecko takie obliczenia wykonuje na pustej osi liczbowej, raczej takiego błędu nie popełni. Dlatego, że obliczenia następują liniowo, od lewej do prawej strony, poziomo.

Dziecko może obliczyć tak:

  • zaznacza na osi liczbę 44

  • od niej wykonuje skok w lewo o 20 do liczby 24

  • zaznacza liczbę 24

  • od liczby 24 wykonuje skok w lewo o 7 do liczby 17, którą zaznacza na osi

  • lub wykonuje dwa skoki: najpierw o 4 (do liczby 20), a następnie o 3 (do liczby 17).

Dzisiaj nauczyciele i nauczycielki stosują pustą oś liczbową nie tylko do tego rodzaju rachunków (dodawania i odejmowania liczb jednocyfrowych i wielocyfrowych). Używa się jej również mnożenia oraz dzielenia oraz rachowania na ułamkach.

Pusta oś liczbowa pomaga dzieciom w przejściu do rachowania „w pamięci“.

Dziecko do pierwszej liczby dolicza lub odlicza drugą liczbę. Pierwszą liczbę traktuje jako całość, nie musi rozkładać ją na dziesiątki i jedności (jak na przykład wtedy kiedy posługuje się konkretnymi pomocami w rachowaniu, takimi jak pchełki: duże pchełki to dziesiątki, a małe to jedności). Drugą liczbę może rozłożyć w dowolny sposób, jednocześnie widzi, ile już dodało lub odjęło, bo jest to notowane, tak jak na przykład w tym przypadku.

Dziecko widzi ile już dodało (ile odjęło) oraz ile musi jeszcze dodać (ile odjąć). Dzięki temu pamięć jest mniej obciążona - jest mniej informacji do przechowania. Przy stosowaniu innych narzędzi musi rozłożyć obie liczby na dziesiątki i jedności, osobno dodać (lub odjąć) dziesiątki, osobno jedności. Sprawdzić, czy po zsumowaniu jedności jest więcej niż 10. Jeżeli tak, to każde 10 jedności zamienić na dziesiątki. Doliczyć nowe dziesiątki, a na koniec zsumować dziesiątki i jedności.

W przypadku rachowania na pustej osi liczbowej dziecko wybiera taką strategię, jaka ma dla niego sens.

Rachowanie na pustej osi liczbowej pozwala też monitorować jak u dzieci rozwija się biegłość rachunkowa. Dziecko prezentuje bowiem na osi stosowaną w obliczeniach strategię, dzięki temu widoczny staje się jego sposób myślenia. Nauczyciel lub nauczycielka może teraz dostosować swoje propozycje do potrzeb każdego dziecka.

Ważną zaletą pustej osi liczbowej jest to, że pozwala dziecku na stosowanie jego własnych, intuicyjnych strategii rachunkowych. Może na przykład, skorzystać ze strategii doliczania lub rozkładu dodawanej liczby na składniki. Sposób rozkładu nie jest z góry określony, dziecko wybiera ten, który uważa za najbardziej sensowny ze swojego punktu widzenia. Dodając 53 i 29, drugą liczbę dziecko może rozłożyć w dowolny sposób: 20 i 9 lub 7 i 22 lub 20 i 7 i 2 itd.

Pusta oś liczbowa, jak już pisaliśmy, pozwala dziecku stosować intuicyjne, przyjazne mu strategie rachunkowe. Na przykład, dzieci chętnie, w rachunkach w zakresie 100, korzystają z odliczania lub doliczania. Te bardziej sprawne rachunkowo wykorzystują kombinację różnych strategii, na przykład doliczania i rozkładania liczby na składniki. Popatrz na przedstawiony na rysunku sposób obliczenia przez dziecko różnicy 62 - 29.


Dziecko najpierw odjęło 2 razy po 10 (do 42), a potem odjęło 2 (do 40) na końcu odjęło pozostałe 7 (do 33)

Dziecko najpierw odjęło 2 razy po 10 (do 42), a potem odjęło 2 (do 40) na końcu odjęło pozostałe 7 (do 33).



Jak uczyć dzieci korzystania z pustej osi liczbowej?

Po pierwsze zależy to od wieku dziecka, jego możliwości i potrzeb.

Jak przy poznawaniu każdego nowego pojęcia z matematyki potrzebna jest pewna baza - wiedza i umiejętności.

  • Ważna jest umiejętność elastycznego rozkładu liczb na składniki: dwa i więcej składników.

  • Potrzebna jest także umiejętność liczenia od dowolnej liczby (nie zawsze od 1) do przodu i wstecz.

  • Ważną umiejętnością jest też lokowanie liczby w stosunku do innych liczb. Dzieci określają następniki i poprzedniki danej liczby, na przykład liczba 34 znajduje się pomiędzy liczbami 33 i 35.

Mimo, że tradycyjna oś liczbowa i pusta oś liczbowa to różne modele, służące różnym celom, to istnieją pewne umiejętności i wiedza, które poznaje dziecko, kiedy pracuje z tradycyjną osią liczbową. Znajomość tradycyjnej osi liczbowej pomoże zrozumieć i skutecznie używać pustej osi liczbowej. Dlatego warto wcześniej dać dzieciom doświadczenia w wyszukiwaniu liczb na osi liczbowej oraz w liczeniu z przemieszczaniem się po osi liczbowej. Na przykład, dziecko umieszcza pionek (lub zaznacza palcem) na początkowej liczbie, na przykład 12, a następnie liczy do przodu (lub wstecz). Potem w ten sposób może liczyć po 10. Ustawia pionek na liczbie 10 przesuwa o 10 na 20, potem na 30 itd., jednocześnie głośno licząc. To samo wykonuje licząc wstecz.

Warto też dawać dzieciom doświadczenia z częściowo uzupełnionymi osiami liczbowymi. Na takiej osi zaznaczone są, na przykład tylko dziesiątki. Dziecko zaznacza określoną liczbę, na przykład 18. Liczba ta jest bliżej liczby 20 czy liczby 10? Tego typu doświadczenia pozwalają łagodnie przejść do działania na pustej osi liczbowej.

Dobrze by dzieci zbierały doświadczenia w posługiwaniu się „Tabliczką Setką“. Jest mnóstwo gier oraz łamigłówek, które mogą dziecku zapewnić ważne doświadczenia.

Dwie inne kluczowe umiejętności, które pozwolą dzieciom stosować bardziej ekonomiczne strategie rachowania, to:

dopełnianie do 10
oraz przekraczanie w rachowaniu progu dziesiątkowego.

Dlatego warto zadbać o wcześniejsze doświadczenia w różnych kombinacjach z dziesiątkami: składanie dziesiątek z mniejszych liczb, dopełnianie do dziesiątki, czy doliczanie do dziesiątki (3 + 3 + 3 + 1 = 10; 28 + 2 = 30; 40 + 5 = 45).

Składanie dziesiątek, dopełnianie do dziesiątki wymaga umiejętności elastycznego rozkładania liczb na składniki. Na przykład, obliczamy 7 + 5. Pierwszy składnik pozostawiamy w całości. Drugi rozkładamy na dwie takie liczby, żeby pierwszą dopełnić do dziesiątki, a drugą dodać do dziesiątki. Rozkładamy 5 na 3 i 2. Trzy dodajemy do 7 aby złożyć 10, a potem do 10 dodajemy 2. Strategię tę, poznaną na małych liczbach, dziecko stosuje przy rachowaniu na większych liczbach. Na przykład, 47 + 5 =; 47 + 3 = 50; a następnie 50 + 2 = 52. Kolejne kroki w obliczeniach dziecko może przedstawić na pustej osi liczbowej i zapisywać symbolicznie.

Inną ważną strategią rachunkową poznawaną przez dziecko jest kompensacja. Obliczamy, na przykład 57–29=. Najpierw odejmujemy 30, a potem dodajemy 1.


Jak pomóc dzieciom w efektywnym korzystaniu z pustej osi liczbowej?

Zachęcaj dzieci do opisywania słowami zastosowanych strategii rachunkowych oraz do symbolicznego zapisu rozwiązań, które zaznaczyły na osi. W ten sposób pomagamy w przejściu do rachowania na bardziej abstrakcyjnym poziomie. Pamiętaj, że celem jest, żeby dzieci obliczały bez potrzeby stosowania różnych zewnętrznych modeli wsparcia. Dlatego, jeżeli zauważysz, że dziecko nie potrzebuje już tego typu pomocy, to zrezygnuj z ich stosowania. Dzieci mogą też zmieniać strategie rachunkowe w zależności od liczb, które dodają lub odejmują. Sztywne stosowanie tylko jednego narzędzia lub tylko jednej procedury ogranicza zdolność do elastycznego stosowania różnych strategii rachunkowych. Każdemu potrzebne są różnorodne strategie i różnorodne narzędzia reprezentacyjne.


Inne sytuacje związane z używaniem do rachunków pustej osi liczbowej, które mogą mieć szkodliwy wpływ na rozwój strategii obliczeniowych u uczniów i uczennic, to:

  • nadmierne kierowanie czynnościami dzieci - kiedy mówisz im co i jak mają zaznaczać;

  • zaznaczanie na osi liczb, których według Ciebie dzieci będą potrzebowały do rachowania;

  • używanie pustej osi liczbowej, gdy pomimo dobrego jej wprowadzenia i stosowania przez jakiś czas, dzieci mają nadal problemy ze stosowaniem osi jako narzędzia wspierania ich obliczeń;

  • Twoja nadmierna koncentracja na estetyce rysunku - w niewielkim stopniu przyczynia się to do skuteczności obliczeń dzieci.


Jeszcze kilka uwag, dlaczego nie warto zaznaczać na osi liczb, które uważasz, że przydadzą się dzieciom w rachunkach. Może to dezorientować. Dzieci mogą mieć inny pomysł na obliczenia, ale zaznaczone liczby powodują, że zaczną wątpić, czy mogą obliczać tak, jak chcą, tak jak jest dla nich w tym momencie najwygodniej.

Na rysunku pokazane jest, jak dziecko pomyślało, że nauczyciel chce: żeby zaczęło od pierwszej liczby zaznaczonej na osi, czyli od zera.


Dziecko pomyślało, że nauczyciel chce: żeby zaczęło od pierwszej liczby zaznaczonej na osi, czyli od zera

Może to też skłaniać dzieci do korzystania ze strategii niższego poziomu.

Na przykład jeżeli zaznaczysz wszystkie kolejne liczby, to dziecko może po prostu doliczać (lub odliczać) kolejne liczby, zamiast dodać (lub odjąć) większą liczbę.


Jeżeli zaznaczysz wszystkie kolejne liczby, to dziecko może doliczać (lub odliczać) kolejne liczby, zamiast dodać (lub odjąć) większą liczbę

Na koniec pamiętaj, że dla Ciebie pusta oś liczbowa może wydawać się prostym, wygodnym narzędziem do obliczeń. Dla dzieci może to być wielkie wyzwanie. Nauczenie się korzystania z tego narzędzia wymaga czasu, odpowiedniego wprowadzenia oraz wielu osobistych doświadczeń.