Strategie dodawania i odejmowania (1)

Część 1

O doliczaniu i odliczaniu do pełnej dziesiątki

Biegłość w rachowaniu polega między innymi na tym, że potrafimy szybko wybrać najbardziej adekwatną strategię rachunkową, kiedy mamy dodać lub odjąć liczby - wybieramy tę która wydaje nam się najlepsza w tym przypadku.

W podręcznikach i zeszytach ćwiczeń do matematyki, zwłaszcza dla klasy 2, znajdziemy kilka propozycji strategii rachunkowych, które mają poznać dzieci.

Niektóre z proponowanych strategii, są bardzo popularne. Inne można spotkać niezwykle rzadko. To, które strategie będą zaproponowane, zależy przede wszystkim od preferencji autorek i autorów, od tego jakie mają przekonania co do skuteczności tej a nie innej strategii.


Kiedy prosimy dorosłych, żeby obliczyli, ile to jest na przykład 64 + 38, to zastosują różnorodne sposoby obliczania.


Jak dodać 64 i 38?

Co powoduje wybór takiej lub innej strategii obliczeń? Dlaczego jeden sposób uznamy za przyjazny, a inny nie? Nie zawsze wybieramy strategie, które w danym przypadku są najbardziej efektywne. Bardzo dobrze to widać na przykładzie odejmowania.


Jak odjąć 19 od 73?

Wielu dorosłych wybiera strategię opartą na:

  1. rozłożeniu odejmowanej liczby na dziesiątki i jedności;

  2. odjęciu dziesiątek;

  3. odjęciu jedności.


Osobno dziesiątki, osobno jedności

Czy nie byłoby szybciej tak:


Zastosowaliśmy kompensację, obie liczby w działaniu zwiększyliśmy o 1, dzięki czemu mogliśmy odjąć pełne dziesiątki.

Zastosowaliśmy kompensację, obie liczby w działaniu zwiększyliśmy o 1, dzięki czemu mogliśmy odjąć pełne dziesiątki.


Im więcej strategii pozna dziecko, tym lepiej. Repertuar sposobów radzenia sobie z zadaniami rachunkowymi powinien być jak największy.


W kolejnych wpisach zaprezentujemy różne strategie dodawania i odejmowania.

W ostatnim z tego cyklu opiszemy, jak pozostawić dziecku swobodę w wyborze strategii, jednocześnie zachęcając do wyboru tej, która będzie najbardziej efektywnej w danym przypadku.

Nasze propozycje wprowadzania pojęć matematycznych w przedszkolu oraz w klasach I - III opierają się na teorii reprezentacji umysłowych J.S.Brunera.

  1. Kiedy uczymy się czegoś nowego, najpierw korzystamy z reprezentacji enaktywnej, czyli działamy na konkretach. Konkret to obiekt, którym osobiście manipulujemy - przesuwamy, przekładamy, zsuwamy, odsuwamy itp.

  2. Potem działamy korzystając z reprezentacji ikonicznej, czyli manipulujemy w swojej wyobraźni obrazami.

  3. Na końcu możemy korzystać z reprezentacji symbolicznej, czyli „działamy w głowie“, manipulując symbolami.


Reprezentacja enaktywna, działamy na konkretach. Konkret to obiekt, którym osobiście manipulujemy - przesuwamy, przekładamy, zsuwamy, odsuwamy.

Reprezentacja ikoniczna, czyli manipulujemy w swojej wyobraźni obrazami

Reprezentacja symboliczna, czyli „działamy w głowie“, manipulując symbolami.

Ucząc się czegoś nowego najpierw mamy do dyspozycji tylko reprezentację enaktywną, potem enaktywną i ikoniczną, a na końcu wszystkie trzy (enaktywną, ikoniczną i symboliczną).

Proponowane dzieciom działania też przebiegają przez trzy poziomy reprezentacji.

  1. Najpierw dodają i odejmują manipulując konkretami, w tym przypadku koralikami, które przesuwają na sznurku oraz sześciennymi klockami, które układają na tabliczkach z 10 okienkami.

  2. Potem działają na wyobrażeniach - wyobrażają sobie działania na liczydle koralikowym oraz na tabliczce dziesiątce.

  3. Na koniec mogą wykonywać obliczenia „w głowie“, zapisując je formułą matematyczną.

Każde dziecko ma swoje tempo przechodzenia przez te trzy etapy. Są dzieci, które potrzebują, mniej więcej po tyle samo doświadczeń na każdym z tych etapów. Są także takie dzieci, które potrzebują wielu doświadczeń na etapie działania na konkretach, szybko przechodzą przez etap działania na wyobrażeniach, żeby zacząć sprawnie rachować „w głowie“.

Pamiętaj, że w każdym momencie dziecko powinno móc powrócić do działania na konkretach czy na wyobrażeniach, jeżeli zajedzie taka potrzeba.


Działania dodawania, które można obliczyć rozkładając jedną z liczb na składniki, aby doliczając otrzymać dziesięć (dziesiątkę)
Działania na konkretach (liczydełka koralikowe)

Daj dzieciom liczydełka koralikowe, na przykład z 30 koralikami (3 x po 10 koralików, każda dziesiątka w innym kolorze).


Liczydło koralikowe z 30 koralikami (3 x po 10 koralików, każda dziesiątka w innym kolorze).

Zapisz działanie, na przykład, 8 + 7 =



Dzieci odliczają na liczydle osiem koralików. Po ósmym koraliku zaczepiają klamerkę.


Zaznaczają miejsce po ósmym koraliku

Doliczają 7 koralików (mogą palcem „przejechać“ wzdłuż ciągu, aby pokazać siedem dodanych).


Doliczają siedem koralików

Osiem koralików było w jednym kolorze. W jakich kolorach było siedem, które dodaliśmy? Dlaczego zmienił się kolor?

Było 8 niebieskich koralików. Ile dodaliście jeszcze niebieskich koralików? (dwa niebieskie koraliki). Tak więc 8 + 2 = 10. Ile jeszcze musieliście dodać różowych koralików? (5 różowych koralików). Ile to jest 10 + 5? Jak możemy zapisać działanie, które wykonaliśmy?

Zapisz: 8 + 7 = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15.

Było 8 niebieskich koralików. Dodaliśmy do nich 7 koralików. Najpierw dodaliśmy 2 niebieskie, żeby było 10, a potem jeszcze 5 różowych. Razem to 15 koralików (skomentuj to, co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu).


Działania na wyobrażeniach (liczydełka koralikowe)

Zapisz działanie, na przykład : 7 + 5 =

Dzieci mają liczydełka koralikowe. Po siódmym koraliku przypinają klamerkę. Bez dotykania liczydełka ustalają, ile będzie razem koralików kiedy dodadzą jeszcze 5. Ile koralików dodadzą najpierw, żeby mieć dziesięć? Ile dodadzą potem koralików? Jak to zapiszą?

7 + 5 = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12

Było 7 niebieskich koralików. Dodaliśmy do nich 5 koralików. Najpierw dodaliśmy 3, żeby razem było 10, a potem jeszcze 2. Razem to 12 koralików (skomentuj to, co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Działania na konkretach (tabliczki „dziesiątki“)

Zapisz działanie, na przykład 7 + 6 =.


Dwie tabliczki "dziesiątki"

Dzieci na jednej tabliczce „dziesiątce“ układają 7 klocków.


Dzieci na jednej tabliczce „dziesiątce“ układają 7 klocków.

Dokładają kolejne 6 klocków - najpierw zapełniają pierwszą tabliczkę, a pozostałe klocki układają na drugiej tabliczce.


Dokładają kolejne 6 klocków - najpierw zapełniają pierwszą tabliczkę, a pozostałe klocki układają na drugiej tabliczce.

Zapisują: 7 + 6 = (7 + 3) + 3 = 10 + 3 = 13

Na tabliczce położyliśmy 7 klocków. Dodaliśmy do nich 6 klocków. Najpierw dodaliśmy 3, żeby razem było 10, a potem jeszcze 3. Razem to 13. (skomentuj to, co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Działania na wyobrażeniach (tabliczki „dziesiątki“)

Zapisz działanie, na przykład: 8 + 5 =

Dzieci na tabliczce układają 8 klocków. Bez dokładania kolejnych 5 klocków, ustalają jaki będzie wynik działania. Ile klocków potrzebują, żeby zapełnić tabliczkę? Ile klocków położą na drugiej tabliczce? Ile będzie razem? Jak zapiszą to działanie?

8 + 5 = (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13

Na tabliczce położyliśmy 8 klocków. Dodaliśmy do nich 5 klocków. Najpierw dodaliśmy 2, żeby razem było 10, a potem jeszcze 3. Razem to 13. (skomentuj to, co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Dzieci działają w parach. Siadają tyłem do siebie. Mają po 2 tabliczki „dziesiątki“ oraz klocki. Jedno dziecko w parze otrzymuje kartkę z działaniem. Oblicza, układając klocki na tabliczce. Opisuje koledze/koleżance co robi, po to by ona/on robił(a) taj samo. Na koniec wspólnie zapisują działanie. Następnie zamieniają się rolami, obliczają kolejne działanie.

Działania na symbolach

Dzieci obliczają, korzystając wtedy kiedy tego potrzebują z liczydełek koralikowych lub tabliczek „dziesiątek“ (przydatne w przypadku rachowania na liczbach większych niż 30).

5 + 6 =

9 + 7 =

8 + 5 =

7 + 6 =

8 + 7 =

4 + 8 =

3 + 9 =

55 + 8 =

9 + 64 =

4 + 47 =

85 + 7 =

77 + 7 =

9 + 59 ...

Działania odejmowania, które można obliczyć rozkładając odejmowaną liczbę na składniki, aby odliczając otrzymać dziesięć (dziesiątkę)


Działania na konkretach (liczydełka koralikowe)

Zapisz na tablicy działanie, na przykład 14 - 6 =.


Liczydło koralikowe z 30 koralikami (3 x po 10 koralików, każda dziesiątka w innym kolorze).

Dzieci przypinają klamerkę po 14 koraliku.


Dzieci przypinają klamerkę po 14 koraliku

Zapytaj w jakich kolorach są zaznaczone koraliki (na przykład jest 10 niebieskich i 4 różowe). Musimy odjąć 6. Ile odejmiemy najpierw, żeby zostało 10? (dzieci przypinają klamerkę po 10 koraliku).


Dzieci przypinają klamerkę po 10 koraliku.

Ile zostało nam jeszcze do odjęcia? (przesuwają klamerkę).


Ile zostało nam jeszcze do odjęcia? (przesuwają klamerkę)

Ile zostało?

Jak to, co zrobiliśmy zapiszemy w postaci działania?

14 - 6 = (14 - 4) - 2 = 10 - 2 = 8

Było 14 koralików. Chcieliśmy odjąć 6 koralików. Najpierw odjęliśmy 4, żeby zostało 10. A potem od 10 odjęliśmy jeszcze 2. Zostało 8. (skomentuj, to co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Działania na wyobrażeniach (liczydełka koralikowe)

Zapisz działanie, na przykład 12 - 7 =.

Dzieci na liczydełku koralikowym po 12 koraliku przypinają klamerkę. Bez dotykania liczydełka ustalają, ile będzie koralików gdy odejmą 7 koralików. Ile koralików odejmą najpierw, żeby zostało dziesięć? Ile odejmą potem koralików? Jak zapiszą działanie?

12 - 7 = (12 - 2) - 5 = 10 - 5 = 5

Było 12 koralików. Chcieliśmy odjąć 7 koralików. Najpierw odjęliśmy 2, żeby zostało 10. A potem od 10 odjęliśmy jeszcze 5. Zostało 5. (skomentuj, to co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Działania na konkretach (tabliczki „dziesiątki“)

Zapisz działanie, na przykład: 13 - 7 =

Dzieci układają na tabliczkach „dziesiątkach“ 13 klocków (na jednej 10 klocków, a na drugiej 3 klocki).


Dzieci układają na tabliczkach „dziesiątkach“ 13 klocków (na jednej 10 klocków, a na drugiej 3 klocki).

Zabierają 7 klocków. Najpierw z tabliczki z 3 klockami,


Najpierw z tabliczki z 3 klockami

a potem resztę z tabliczki z 10 klockami.


Następnie zabierają resztę (jeszcze 4 klocki) z tabliczki z 10 klockami

Zapisują działanie: 13 - 7 = (13 - 3) - 4 = 10 - 4 = 6

Było 13 klocków. Chcieliśmy odjąć 7 klocków. Najpierw odjęliśmy 3 klocki, żeby zostało 10. A potem od 10 klocków odjęliśmy jeszcze 4. Zostało 6 klocków. (skomentuj, to co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Może zdarzyć się, że dziecko zabierze 7 klocków z tabliczki, na której znajduje się 10 klocków (zostaną 3 klocki), a następnie doda klocki pozostałe na dwóch tabliczkach, czyli 3 i 3, otrzymując 6. Ten sposób też jest poprawny. Ponieważ jednak chcemy dziecku pokazać strategię obliczeń opierającą się na odliczaniu do pełnej dziesiątki, dlatego warto obliczyć jeszcze raz kierując działaniami dziecka.

Działania na wyobrażeniach (tabliczki „dziesiątki“)

Zapisz działanie, na przykład 14 - 6 =

Dzieci na tabliczkach układają 14 klocków (10 na jednej i 4 na drugiej). Nie ruszając klocków ustalają, ile ich zostanie gdy zabiorą 6 klocków. Ile zabierzemy najpierw, żeby zostało 10? Ile potem? Ile zostanie na końcu? Jak zapiszemy to działaniem?

14 - 6 = (14 - 4) - 2 = 10 - 2 = 8

Było 14 klocków. Chcieliśmy odjąć 6 klocków. Najpierw odjęliśmy 4 klocki, żeby zostało 10. A potem od 10 klocków odjęliśmy jeszcze 2. Zostało 8 klocków. (skomentuj, to co zrobiliście wskazując odpowiednie liczby w działaniu)

Dzieci działają w parach. Siadają tyłem do siebie. Mają po 2 tabliczki „dziesiątki“ oraz klocki. Jedno dziecko w parze otrzymuje kartkę z działaniem. Oblicza, układając klocki tabliczkach. Opisuje koledze/koleżance co robi, po to by robili tak samo. Na koniec wspólnie zapisują działanie. Następnie zamieniają się rolami, obliczając kolejne działanie.

Działania na symbolach

Dzieci obliczają, korzystając, kiedy tego potrzebują, z liczydełek koralikowych lub tabliczek „dziesiątek“ (przydatne w przypadku rachowania na liczbach większych niż 30).

15 – 6 =

21 – 5 =

16 – 9 =

12 – 4 =

23 – 8 =

11 – 4 =

13 – 6 =

35 – 6 =

41 – 5 =

33 – 7 =

22 – 7 =

66 – 8 =

31 – 4 =

33 – 7 =

85 – 8 =

93 – 8 =

96 – 9 =

31 – 5 =

75 – 7 =

41 – 6 =

81 – 9 =

  • Facebook
  • Pinterest

48 502 336 924

©2020 by berdo.org